Blog de Jesús Alderete Kingdom Maths: diciembre 2015

Teorema del coseno

Es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\,$

Teorema del seno

Es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus respectivos ángulos opuestos.

Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces:

$\frac{a}{\sin\,A} =\frac{b}{\sin\,B} =\frac{c}{\sin\,C}$

RELACIÓN CON EL ÁREA DEL TRIÁNGULO

$Area=\frac{a\;h}{2} = \frac{a\;b\,\;\sin\,C}{2}=\frac{a\;b\;c}{4\;R}$

Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos

Ángulos Opuestos

$sen \, (-\alpha)=-sen \, \alpha$

$cos \, (-\alpha)= cos \, \alpha$

$tg \, (-\alpha)=-tg \, \alpha$

Ángulos complementarios

$sen \, (90^o-\alpha)=cos \, \alpha$

$cos \, (90^o-\alpha)= sen \, \alpha$

$tg \, (90^o-\alpha)=cot \, \alpha$

Ángulos que difieren 90º

$sen \, (90^o+\alpha)=cos \, \alpha$

$cos \, (90^o+\alpha)=-sen \, \alpha$

$tg \, (90^o+\alpha)=-cot \, \alpha$

Ángulos suplementarios

$sen \, (180^o-\alpha)=sen \, \alpha$

$cos \, (180^o-\alpha)= -cos \, \alpha$

$tg \, (180^o-\alpha)=-tg \, \alpha$

Ángulos que difieren 180º

$sen \, (180^o+\alpha)=-sen \, \alpha$

$cos \, (180^o+\alpha)= -cos \, \alpha$

$tg \, (180^o+\alpha)=tg \, \alpha$

Relaciones entre las razones trigonométricas

Las razones trigonométricas de un ángulo están relacionadas entre sí. Para deducir esas relaciones basta tener en cuenta que en todo triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras .

Con estas relaciones, conocida una de las razones trigonométricas podremos calcular las otras de manera exacta.

Demostración:

A partir de estas dos relaciones se puede obtener otra que también resulta muy útil:

Luego:

Razones trigonométricas en una circunferencia goniométrica

La circunferencia goniométrica, trigonométrica, unitaria o «círculo unidad» es una circunferencia de radio uno, normalmente con su centro en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas, de un plano euclideo o complejo
Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas y funciones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares..

Dado que la hipotenusa es 1, el seno será el cateto opuesto y el coseno el cateto contiguo.

Razones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º, 60º. 90º, 180º y 270º

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

SENO
El seno es una función no algebraica impar, función elemental trascendente, periódica de periodo

2 \pi

es continua, infinitamente derivable e integrable. Su dominio es todo el conjunto ℝ y su codominio es el intervalo cerrado [-1;1], con una infinidad numerable de máximos y mínimos que se alternan en su gráfico; tiene intervalos de concavidad alternados; sus puntos de inflexión están en el eje X; su notación funcional, en castellano, es sen.

En trigonometría, el seno de un ángulo

\alpha\,

en un triángulo rectángulo de ángulo

\alpha\,

se define como la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa:

$\sen \alpha=\frac{a}{c}$

COSENO
En trigonometría, el coseno (abreviado cos) de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa:
$\cos\alpha = \frac{b}{c}$

TANGENTE
La tangente (abreviado tan) de un ángulo (en un triángulo rectángulo) se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente.
$\tan(\alpha) = \frac{\sen(\alpha) }{\cos(\alpha) } \,$

COTANGENTE
La cotangente, abreviado como cot, cta, o cotg, es la razón trigonométrica inversa de la tangente.
$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{b}{a}$

SECANTE
El Secante, (abreviado como sec), es la razón trigonométrica recíproca del coseno.
$\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{c}{b}$

COSECANTE
La función cosecante (abreviado como csc o cosec) es la razón trigonométrica inversa del seno.
$\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} = \frac{c}{a}$

Radianes

En el S.I. medimos los ángulos en radianes. Un radián es el ángulo central que abarca un arco que mide un radio.

La circunferencia completa medirá 2π radianes

El ángulo llano: π radianes

El ángulo recto: π/2 radianes

El ángulo de 45º: π/4 radianes

El ángulo de 60º: π/3 radianes

lunes, 7 de diciembre de 2015