domingo, 29 de noviembre de 2015

Ejercicio 45

Una matrioska consiste en una muñeca hueca que tiene en su interior otra muñeca igual pero más pequeña y así sucesivamente, hasta llegar a la más pequeña que es maciza. El volumen de cada muñeca es 2/3 de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa aproximadamente 31,6 cm3? ¿Cuál es el volumen exacto de dicha muñeca?

x=número de matriskas (menos la primera)

360·(2/3)x=31.6
(2/3)x=31.6/360
(2/3)x=0.08778
log2/30.08778=x
x=6
Habrá 7 matrioscas
La muñeca más pequeña tendrá 31.60493827cm3

Ejercicio 24

Halla dos números naturales cuya suma sea 10 y la suma de sus cubos 370.

a+b=10           Þ        a=10-b          Þ    a=3
a3+b3=370      Þ        a3+b3=370   Þ    (10-b)3+b3=370  Þ b=7

Ejercicio 31

Un padre ha comprado un jersey para cada uno de sus cinco hijos, gastándose en total 108,75 euros. Tres de los jerséis tenían un 15% de descuento, y otro de ellos tenía un 20% de descuento. Sabiendo que inicialmente costaban lo mismo, ¿cuánto ha tenido que pagar por cada jersey?

x= precio jersey sin descuento
Para hallar el 15% de descuento se multiplica por 0.85 y para hallar el 20% de descuento se multiplica por 0.8

3·0.85x+0.8x+x=108.75
4.35x=108.75
x=108.75/4.35
x=25
0.85x=21.25
0,8x=20

Por uno de ellos 25€, por 3 de ellos 21.25€ y por el último 20€.

sábado, 28 de noviembre de 2015

Ejercicio número 32

RESUELVE  ESTA ECUACIÓN: (4x+√3)2=75

1º Realizamos el cuadrado: 8x2+3+8x√3=75
2º Sumamos -3 a ambos lados del paréntesis: 8x2+8x√3=72 
3º Sumamos -8xa ambos lados del paréntesis: 8x√3=72-8x2
4º Elevamos al cuadrado a ambos lados del paréntesis: 64x2·3=722+64x4-1152x2
5º Realizamos el producto: 192x2=64x4-1152x2+5184
6º Sumamos -192xa ambos lados del paréntesis: 64x4-1344x2+5184=0
7º Dividimos entre 64: x4-21x2+81=0
8º Es una ecuación bicuadrada, sustituimos, x4=tx2=t:  
t2-21t+81=0
9º Realizamos la fórmula de resolución de ecuaciones de 2ºgrado.
Dando como resultado t1=(21+√117)¸2 y t2=(21-√117)¸2
10º Hallamos x: 
x1=√[(21+√117)¸2]
x2=√[(21-√117)¸2]



Ejercicio número 6

DEFINICIÓN DE NÚMERO ALGEBRAICO
Los número algebraicos son los números reales que son solución de alguna ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales. A la vista de esta definición es fácil comprender que todos los números racionales son algebraicos, ya que si r= \textstyle{\frac{p}{q}} es un número racional (por tanto p,q\in\mathbb{Z}), entonces r es solución de la ecuación polinómica q \; x -p=0.
Pero no sólo son algebraicos los números racionales. También lo son muchos irracionales. Por ejemplo, el número irracional \sqrt{2} es algebraico. Basta ver que es solución de la ecuación polinómica x^2-2=0 para darse cuenta de ello.

domingo, 15 de noviembre de 2015

Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas.
Poseen 2 propiedades:
1ª a=b Û a+c=b+c
2ª a=b Þ a*c=b*c

EJEMPLO



ECUACIONES EQUIVALENTES

Dos ecuaciones son equivalentes, cuando la solución de la primera es la misma que la solución de la segunda, luego la solución de la segunda es la misma que la primera.

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
Si a una ecuación se le aplican las transformaciones elementales salen ecuaciones equivalentes.

Son dos:
-Si a los dos miembros de una ecuación les sumas un número cualquiera se forma una ecuación equivalente a la primera.
-Si a los dos miembros de una ecuación les multiplicas por un número distinto de 0 se forma una ecuación equivalente a la primera.
Ejemplo de porqué no se puede multiplicar por 0 para hallar ecuaciones equivalentes:
x=2
0x=0

ECUACIONES POLINÓMICAS DE 2ºGRADO

ax2+bx+c=0



Técnica de completar cuadrados:




FÓRMULAS DE CARDANO
Establecen relación entre las raíces de un polinomio y sus coeficientes. 

s=x1+x2=-b/a
p=x1*x2=c/a

ECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR DE 2

ECUACIONES MUY INCOMPLETAS

ECUACIONES BICUADRADAS

ECUACIONES INCOMPLETAS (SIN TÉRMINO INDEPENDIENTE)






ECUACIONES COMPLETAS



Se buscan las raíces en los divisores de -e-.

ECUACIONES IRRACIONALES

La incógnita está debajo de un racional.


Debemos eliminar el radical elevando al cuadrado, pero solo cuando nos cercioremos de que podemos quitarlo.

ecuación
ecuación
ecuación
ecuación
ecuación

solución

Comprobamos porque se pueden dar soluciones extrañas

comprobación









domingo, 8 de noviembre de 2015

Ejercicios de factorización



Historia y reflexión sobre Sophie Germain

Nació en París el 1 de abril de 1776. Su padre, diputado de la Asamblea, disponía de una gran biblioteca a la que ella sacó gran provecho; desde los 13 años leía toda la tarde y al anochecer simulaba acostarse para luego continuar su lectura. Aprendió latín para poder leer a Newton y a Euler. Al enterarse sus padres de sus estudios científicos pusieron el grito en el cielo: la dejaron sin luz y calefacción para que no pudiera seguir leyendo por la noche, pero ella escondía una vela para continuar estudiando envuelta en una manta. El día que la encontraron dormida rodeada de cálculos matemáticos comprendieron que no conseguirían disuadirla y, aunque le permitieron que siguiera estudiando, jamás tuvo su apoyo.
Las mujeres no han podido estudiar en la Escuela Politécnica de París hasta 1972 pero eso no impidió que Sophie tuviera acceso a las enseñanzas de Lagrange. Consiguió sus apuntes a través de un antiguo alumno amigo de la familia, Antoine-Auguste Le Blanc, y llegó a presentarle un trabajo firmado con ese seudónimo. Había tal brillantez en sus reflexiones que Lagrange quiso conocerle. A pesar de su sorpresa al encontrarse ante una mujer siguió reconociendo su valía y se convirtió en su profesor.
No fue la única vez que utilizo el seudónimo de Le Blanc, también lo hizo para cartearse con Gauss después de leer su obra Disquisiciones Aritméticas. Esa obra despertó su pasión por la teoría de números, volcándose con la conjetura de Fermat y consiguiendo el mayor avance desde hacía dos siglos en su resolución con el Teorema de Germain. Cuando Napoleón invade Prusia, Germain intercede por Gauss ante un general amigo suyo para que le protegiera. Cuando Gauss se entera que su protectora es una tal Sophie se extraña y ella le escribe a Gauss una carta en la que admitía su condición femenina; a lo que Gauss contestó lo siguiente:

Pero cómo describirte mi admiración y asombro al ver que mi estimado corresponsal Sr. Le Blanc se metamorfosea [...] cuando una persona del sexo que, según nuestras costumbres y prejuicios, debe encontrar muchísimas más dificultades que los hombres para familiarizarse con estos espinosos estudios, y sin embargo tiene éxito al sortear los obstáculos y penetrar en las zonas más oscuras de ellos, entonces sin duda esa persona debe tener el valor más noble, el talento más extraordinario y un genio superior.

En 1809, la Academia de las Ciencias de París convoca un premio extraordinario para aquella persona que justificara el comportamiento de las partículas cuando son sometidas a una vibración. El reto era tan duro que sólo Sophie presentó un trabajo (1811) y no ganó el premio al faltarle rigor (sin duda por lo errático de su formación). Aún así, su ensayo dio nuevas pautas a la investigación y se amplió el plazo del premio dos años más. Allí estuvo de nuevo Sophie con su Mémoire sur les Vibrations des Surfaces Élastiques y de nuevo quedó el premio desierto, aunque esta vez tuvieron que dar una mención honorífica a su trabajo. No se rindió: estudió, corrigió, revisó y por fin, en 1815, la Academia le concedió la medalla de oro.
Maria-Sophie Germain murió de cáncer de mama en París el 27 de Junio de 1831 sin poder disfrutar de la posición que Gauss le había conseguido en la Universidad de Göttingen.

NÚMEROS PRIMOS DE GERMAIN
Un número es primo si sólo puede dividirse de forma exacta entre sí mismo y la unidad. Un primo es de Germain si el siguiente de su doble también es primo.
Veamos los primeros:
  • 2 -> 2·2+1=5 (primo) -> 2 es primo de Germain
  • 3 -> 2·3+1=7 (primo) -> 3 es primo de Germain
  • 5 -> 2·5+1=11 (primo) -> 5 es primo de Germain
  • 7 -> 2·7+1=15 (no primo) -> 7 no es primo de Germain
  • 11 -> 2·11+1=23 (primo) -> 11 es primo de Germain

REFLEXIÓN

Mi opinión sobre este asunto es que es uno de los ejemplos históricos de trabajo y superación al rechazo de la sociedad machista de hace varios siglos, consiguiendo así el apoyo de las grandes mentes de su época y aportaciones a la teoría de números  y a la de la elasticidad. Todos estos méritos los hizo sin una carrera académica estándar, asi que quién sabe lo que hubiera hecho si la hubiera tenido.

jueves, 5 de noviembre de 2015

Comentario sobre una polémica matemática en EEUU

En esta noticia se relata que un profesor estadounidense corrigió como mal, un ejercicio realizado por un alumno, en el que el alumno deducía que 5*3=15 porque 5+5+5=15. Esta acción del profesor provocó un debate en foros en internet.
Mi opinión es a favor del profesor, puesto que el problema dice que deduzca el resultado mediante la repetida adición, y el alumno lo que realiza es la multiplicación. La diferencia entre estas es que 5*3 sería 5+5+5 en multiplicación y según la adición repetida el primer factor marcaría el número de repeticiones y el segundo el valor que se repite. Yo estaría del lado del profesor puesto que el procedimiento está mal.

lunes, 2 de noviembre de 2015

Teorema del factor

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x - a) si y sólo si a es raíz de P(x).
P(x)=(x-a)·C(x)
P(a)=0

EJEMPLO
P(x)=x2+(2√5)x+2√5
x= -2 y -2'236

x+2 es divisor x2+(2√5)x+2√5
x+2'236 es divisor x2+(2√5)x+2√5

Teorema del resto


En álgebra  el teorema del resto afirma que el resto r\,, que resulta al dividir un polinomiop(x)\, entre x-a\,, es igual a p(a) \,. Para calcular el resto de la división de un polinomio P(x) entre x-a basta sustituir en P(x), la x por a.  
P(x)=(x-a)·C(x) + r
P(a)=(a-a)·C(a) + r
P(a)=r

EJEMPLO

(x4 − 3x2 + 2) : (x − 3)
P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

Proposición de la división de polinomios

Puede ser (x), (x) y (x)
D(x), d(x) Î ℤ  $|   c(x), r(x) Î 

con g[r(x)]< g [d(x)]


ALGORITMO DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Proposición de la división entera

D: dividendo
d: divisor
c: cociente
r: resto
D, d Î ℤ  $|   c, r Î ℤ                               
con 0 ≤ r ≤ d

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN ENTERA