Derivadas examen

Primer ejercicio

 Segundo ejercicio

 Tercer ejercicio

 Cuarto ejercicio

 Quinto ejercicio

 Sexto ejercicio

 Séptimo ejercicio

 Octavo ejercicio

 Noveno ejercicio

Décimo ejercicio

Infinitos e infinitésimos

INFINITOS

Una función se dice infinito en un x₀ si lim f (x) = ±∞ .
Ejemplos:
1/x² en x=0
x en +∞
x³ en -∞

INFINITÉSIMOS

Una función se dice infinitésimo en x₀ si lim f (x) = 0
Ejemplos:
1/x en +∞
x² en 0
sen0 en 0

COMPARACIÓN DE INFINITOS

Dos funciones f y g infinitas en x₀ se pueden comparar mediante el uso del cociente entre ellas.
lim f (x) = ±∞
lim g (x) = ±∞

lim f (x)/g(x) = se crea una indeterminación de ∞/∞, que resolviéndose se pueden dar tres casos, si su límite es ±∞, si su límite es un número real o si su límite es 0.

Si su límite es +∞, f es de orden superior
Si su límite es 0, g es de orden superior
Si su límite es un número real, ambas son del mismo orden
Si su límite es 1, son infinitos equivalentes

Ejemplo:
f(x)=3x²+2x+-1
g(x)=3x²

lim3x²+2x+-1/3x²=∞/∞=1

Para calcular el límite en el caso de un producto o cociente si un factor es infinito puedo sustituirlo por un infinito equivalente.

lim3x²+2x+-1/-2x³+5x-3=3x²/-2x³=0

COMPARACIÓN DE INFINITÉSIMOS

Dos funciones f y g infinitésimas en x₀ se pueden comparar mediante el uso del cociente entre ellas.
lim f (x) = 0
lim g (x) = 0

lim f (x)/g(x) = se crea una indeterminación de 0/0, que resolviéndose se pueden dar tres casos, si su límite es ±∞, si su límite es un número real o si su límite es 0.

Para calcular el límite en el caso de un producto o cociente si un factor es infinitésimo puedo sustituirlo por un infinito equivalente.

Geometría vectorial del plano

ELEMENTOS DE UN VECTOR

Dirección de un vector: Está representado por la recta que contiene al vector .se define como el ángulo que hace dicho vector con una o más rectas de referencia , según sea el caso en el plano o en el espacio.

Sentido de un vector: Indica la orientación de un vector, gráficamente está dado por la cabeza de la flecha del vector.

Módulo de un vector: Representa el valor de la cantidad física vectorial, está representado por la longitud del vector, tomado o medido a cierta escala.

VECTOR FIJO: pareja ordenada de puntos en el plano


VECTOR LIBRE

RELACIÓN DE EQUIPOLENCIA: Dos vectores son equipolentes si tienen la misma dirección, módulo y sentido.

La equivalencia es una clase de equivalencia en que se deben de cumplir las 3 propiedades, la clase de equivalencia también se llama vector libre.

La relación de equipolencia cumple las siguientes propiedades:

1) Reflexiva

          Todo vector fijo es equipolente a sí mismo.

2) Simétrica

          Si un vector es equipolente a otro, este es equipolente a aquel.

3) Transitiva

          Si un vector es equipolente a otro y este lo es a un tercero, el primero es equipolente al tercero.

REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR LIBRE

OPERACIONES

SUMA

Hay 2 formas:

1ª Dados 2 vectores colocar uno en el extremo del otro

2ª Utilizando la regla del paralelogramo


PROPIEDADES

Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado

Propiedad asociativa: Propiedad que establece que cuando se suman tres o mas vectores, la suma siempre es la misma independientemente de su agrupamiento.

Vector nulo: Existe un vector que actúa como elemento nulo y cuando cualquier vector  se sume con este vector el resultado es el mismo vector original.

0+a=a

Vector opuesto: Para cualquier vector a, existe un vector −a tal que a+(-a) = 0. Este vector −a se denomina vector opuesto, y es único para cada a.

RESTA

PRODUCTO POR ESCALAR

El producto de un número k por un vector  es otro vector:

De igual dirección que el vector .

Del mismo sentido que el vector  si k es positivo.

De sentido contrario del vector  si k es negativo.

De módulo 

VECTOR UNITARIO

Un vector unitario es un vector de módulo uno. En ocasiones se le llama también vector normalizado.

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

VECTOR ORTOGONAL

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.

SISTEMA DE VECTORES: un subconjunto de vectores

SISTEMA LIBRE DE VECTORES

Sistema de vectores en el que el vector nulo se puede representar como una única combinación lineal.

Si un sistema es libre y le quito un vector, el nuevo sistema sigue siendo libre.

Un sistema formado por un vector no nulo, es siempre libre.

Si ese vector es nulo, será un sistema ligado.

SISTEMA LIGADO: sistema de vectores en el que el vector se puede expresar de varias formas.

SISTEMA LIBRE MAXIMAL

Sistema libre en el que al añadir un vector deja de ser libre.

Entrevista

_¿Cuál es el motivo de su devoción hacia las matemáticas?

_¿Por qué la Cuadratura mediante interpolación en métodos Galerkin no lineales?

_¿Qué supuso su breve estancia en Dundee?

_¿Hay algún otro campo científico que le hubiera gustado estudiar?

_¿Qué le diría a una persona que no valora a las matemáticas para mostrarle la importancia de las mismas en la vida?

_¿Cómo han cambiado los métodos de enseñanza de la materia en estos últimos años?

_¿En qué aspectos se han avanzado en las matemáticas en estos últimos años?

_¿Piensa qué es correcta la manera en que se imparten las clases de matemáticas en los institutos españoles? ¿Si no está de a favor de la misma, cual sería la mejor manera de impartir las clases?

Números Complejos

Los números complejos son una extensión de los números reales. El conjunto de los números complejos se designa con la notación , siendo  el conjunto de los números reales se cumple que . Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario. Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica.El número a es la parte real del número complejo.El número b es la parte imaginaria del número complejo.Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i =a. Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.
Los números complejos a + bi y -a -bi se llaman opuestos.

Conjugado de un número complejo

Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central. De esta manera, el conjugado de un complejo zes un nuevo número complejo, definido así:

Representación

     OPERACIONES

      Suma

Multiplicación

PROPIEDADES

Propiedad conmutativa: z+w = w+z; zw= wz.

Propiedad asociativa: v+(w+z)= (v+w)+ z; v(wz)= (vw)z

Propiedad distributiva: v(w+z) = vw+vz; (w+z)v = wv+zv

Existencia de identidades:

La identidad aditiva, el cero: z+ 0 = 0+z = z; la identidad multiplicativa, el 1: 

Inversos: cada número complejo tiene su inverso aditivo -z tal que z +(-z) = 0 y cada número complejo, distinto de cero, tiene su inverso multiplicativo z^-1, tal que z·z^-1 = 1. 

¿Por qué se sincronizan los metrónomos?

Si colocas 32 metrónomos sobre un objeto estático y rígido y los pones a funcionar desincronizados entre ellos, se quedarán así indefinidamente. Pero si los colocas sobre una superficie móvil, algo realmente interesante e hipnotizador sucede.

Los metrónomos de este vídeo son un ejemplo del segundo caso. La energía del movimiento de uno de los metrónomos afecta al movimiento de todos los demás metrónomos de su alrededor, mientras que la energía del movimiento de todos los demás metrónomos afecta al movimiento de nuestro metrónomo original. Toda esta comunicación ínter-metrónomo es facilitada por la tabla sobre la que descansan, que hace las funciones de intermediario energético entre todos los metrónomos colocados sobre ella. Los metrónomos de este vídeo (en realidad son sencillamente péndulos) están abocados a sincronizarse.

Es una metáfora que refleja que la mayoría influye en el comportamiento del individuo, ya que la sociedad es versátil, flexible y cambiante. Aunque también puede explicarse, como que el comportamiento del individuo es capaz de cambiar a la sociedad, siempre y cuando nos encontremos en una sociedad con libertad de expresión...,ya que en este caso nuestro comportamiento quedaría delimitado por el régimen. 

Ejercicio 4

Resuelve el triángulo DEN sabiendo que ABCDE es un pentágono regular, M es el punto medio del radio, en el eje OX, de la circunferencia circunscrita a dicho pentágono y que tomamos como unidad de medida, N es un punto en el eje OX tal que DM = NM. 

Suponiendo que el radio de la circunferencia es 1.

Ejercicio 2

Se quiere reconstruir la ubicación y las dimensiones de un claustro de forma cuadrada desaparecido y del que se ha encontrado su pozo. Se tienen dudas de la ubicación del pozo en relación al claustro pero se sabe que dicho pozo distaba 30, 40 y 50 m de las esquinas del claustro. 

Nos decidimos a resolver el problema mediante el teorema del coseno, pues no poseemos todos los lados y solo tenemos un ángulo.

Ya que cos(90-α)=senα

La segunda solución es válida matemáticamente, pero no tiene sentido en este problema, puesto que entonces, el pozo quedaría fuera del claustro.

Ejercicio 3

Una barra de longitud constante AB se desliza sobre una semicircunferencia, de modo que sus extremos A y B están siempre sobre la semicircunferencia. En cada posición de la barra proyectamos los extremos de la misma sobre el diámetro de la semicircunferencia y construimos el triángulo de vértices MPR, siendo M el punto medio de la barra. ¿Cómo evoluciona este  triángulo?
-Elabora una construcción dinámica con GEOGEBRA que permita ver dicha evolución.

- Demuestra, utilizando el teorema de Tales, que el triángulo MPR es isósceles.

- Como el segmento AB se desliza por la semicircunferencia, el triángulo MPR varía, demuestra que cualquiera de esos triángulos MPR son semejantes.
Siempre serán semejantes ya que  la altura y la base disminuyen y aumentan proporcionalmente.

Esta tierra es mía

Esta tierra es mía es una película de 1943 dirigida por Jean Renoir e interpretada por Charles Laughton, Maureen O'Hara, George Sanders y Walter Slezak en sus papeles principales. 

En una ciudad de la Francia ocupada, Albert Lory (Charles Laughton), un maestro solterón, que vive con su madre, a raíz de su actitud en los bombardeos ha adquirido fama, incluso entre sus alumnos, de persona de poco aplomo. Oculta su amor por otra profesora, compañera y vecina suya, Louise Martin (Maureen O'Hara), conformándose con su amistad y la de su hermano Paul. Además, ella mantiene relaciones sentimentales con George Lambert (George Sanders), por lo que la ve inalcanzable. Paul es miembro de la resistencia francesa y muy activo en las labores de sabotaje, por ello, es traicionado por George que lo delata a los nazis, ya que entiende que la colaboración es el único medio de alcanzar la paz. Albert, en un arrebato de indignación, se dirige al encuentro de George justo en el momento en que este, arrepentido, comete suicidio. Albert, es acusado injustamente de asesinato. Durante el juicio, Albert, investido de una serena dignidad y un valor desconocido por todos, dirige un memorable alegato de la libertad que enciende a sus conciudadanos. Advirtiendo el peligro de sublevación, el comandante nazi, el Mayor Erich von Keller, le propone un trato: si cesa en su alegato y depone su actitud en el juicio, le garantiza un veredicto de inocencia. De regreso al tribunal, Albert continúa en su actitud y arenga a sus conciudadanos.

El argumento presenta bastante profundidad acercándose, a través de unos personajes muy bien construidos, a la realidad de lo que fueron las zonas ocupadas durante la II Guerra Mundial. Se muestran con naturalidad, sin dejar de juzgarlos negativamente, personajes que abiertamente colaboran con los nazis para obtener un provecho personal. Por ejemplo el Alcalde y los comerciantes que se lucran con la situación sin pasar necesidad como los demás. El personaje del jefe de estación que colabora en un principio para no tener problemas con los alemanes, va evolucionando y pasa de ser un nazi idealista a justificar su colaboración para evitar que inocentes paguen por las acciones de otros. Su arrepentimiento le llevará a avisar al saboteador antes de su detención tras haberlo delatado, y al suicidio cuando se ve atrapado por el Mayor Von Keller como colaborador sin remedio. El personaje del Sr. Lory interpretado por Charles Laughton es la auténtica joya de esta película que hace que no haya pasado desapercibida como una cinta más sobre la ocupación. El alegato final de Laughton en el juicio donde arroja su cobardía a sus convecinos y al ocupante alemán. Todo un canto a la Libertad en una interpretación inolvidable. Es muy poco creíble que Maureen O’Hara se enamore por las buenas de Lory sólo por su gran demostración de valor en el juicio. 

Aunque carece casi por completo de acción, se trata de una obra maestra del cine bélico y de un gran canto a la libertad. Muy recomendable.

Teorema del coseno

Es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces: